Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

 

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

Answer

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）120°

【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判断与性质定理、平面与平面垂直的性质，二面角的求解，以及考查逻辑思维能力、空间想象力与简单运算能力、同时考查转化与化归的思想.

解法一：

 (Ⅰ)连接BD，取DC的中点G，连接BG，

  由此知 即为直角三角形，故.

    又,

所以，.

作，，

故平面EDC，内的两条相交直线都垂直.

         ,

         ,

所以，.

(Ⅱ) 由知

.

故为等腰三角形.

取中点F，连接，则.

连接，则.

所以，是二面角的平面角.

连接AG，AG=，,

,

所以，二面角的大小为120°.

解法二：

 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，

设则,,.

(Ⅰ),

设平面的法向量为,

由,

故

令，

又设，则

     ,

设平面的法向量，

由,得

     ，

故    .

令，则.

 由平面得.

故.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，取中点F，则,,

故,由此得.

   又,故由此得,

向量与的夹角等于二面角的平面角.

于是          ,

所以，二面角的大小为120°.