Question

已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

Answer

的最小值为1．

【解析】

（I） 由题意得所求的椭圆方程为，   

（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，

所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，   

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有

因此不等式不成立；因此，

当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．