Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．

（Ⅰ）试判断直线PB与平面EAC的关系；

（Ⅱ）求证：AE⊥平面PCD；

（Ⅲ）若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值.

Answer

PB∥平面EAC ，

【解析】

【解析】
（Ⅰ） PB∥平面EAC．证明如下：

连结BD交AC于点O，连结EO，则O为BD的中点，

又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，∴PB∥平面EAC．

（Ⅱ）∵CD⊥AD，且侧面PAD⊥底面ABCD，

而侧面PAD底面ABCD＝AD，

∴CD⊥侧面PAD，∴CD⊥AE．

∵侧面PAD是正三角形，E为侧棱PD的中点，

∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD；      

（Ⅲ）过E作EM⊥PC于M，连结AM，由（2）及三垂线定理知AM⊥PC．

∴∠AME为二面角A－PC－D的平面角．                                 

由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，∴PD＝AD＝AB＝DC，

∴在等腰直角三角形DPC中，设AB＝a，则AE＝a，PC＝a，EM＝×a．

在△AEM中，tan∠AME＝＝＝．即二面角A－PC－D的正切值为．