Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1,-3),N(5,1),若点C满足

（，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在轴正半轴上是否存在一定点P(m,0)，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】

【解析】
（I）设，由知，点C的轨迹为．

由消y得：．

设，，则，，           

所以，

所以，于是．              

（Ⅱ）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，

设此弦所在直线的方程为．

由消x得：．设，，

则，．                           

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，

所以，即，  

所以得满足，所以存在。