Question

(本小题满分14分)

已知函数，，.

（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；

（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时， .

Answer

（Ⅰ）a=切线的方程为

（Ⅱ）

（Ⅲ）证明见解析

【解析】本题主要考查导数与切线的关系，及导数在求函数最值，单调性等方面的应用，需要考生熟悉求导公式，并有足够的耐心去分类讨论，是一道考查综合素质的难题．

（Ⅰ）=,=(x>0),

由已知得  解得a=，x=e2,

∴ 两条曲线交点的坐标为（e2,e）   切线的斜率为

∴ 切线的方程为

（Ⅱ）由条件知

   ∴

（i）当a>0时，令解得，

∴    当0 << 时，，在（0，）上递减；

当x>时，，在上递增.

∴    是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.

∴    最小值

（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值。

   故的最小值的解析式为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

则，令解得.

当时，，∴在上递增；

当时，，∴在上递减.

∴在处取得最大值

∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.

∴当时，总有