（本题满分16分）函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其...

（本题满分16分）

函数f(x)＝x³＋3ax²＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线3x＋y＋2＝0．

（1）求a，b的值；　　（2）求函数的极大值与极小值的差．

（1）a＝－1，b＝0 （2）4 【解析】（1）f ¢(x)＝3x2＋6ax＋3b．令f ¢(x)＝0，得3x2＋6ax＋3b＝0（Ⅰ），因为f(x)在x＝2处有极值，所以，x＝2是方程（Ⅰ）的根，代入得4＋4a＋b＝0 ①；又图象在x＝1处的切线平行于直线3x＋y＋2＝0，故y¢|x＝1＝－3，即3＋6a＋3b＝－3 ②．所以由①，②解得a＝－1，b＝0．（2）由（1）知f(x)＝x3－3x2＋c，f ¢(x)＝3x2－6x．f ¢(x)＝0的另一个根为x＝0．列表如下： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f ¢(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝c；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝c－4．所以，所求的极大值与极小值之差为c－(c－4)＝4．

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考点分析：

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