Question

（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，

∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）求证：PC⊥；

（2）求证：CE∥平面PAB；

（3）求三棱锥P－ACE的体积V．

Answer

(1) 略

(2) 略

(3) V＝

【解析】【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴BC＝，AC＝2．取中点，连AF, EF，

∵PA＝AC＝2，∴PC⊥． （1分）

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，

∴，∴，

∴．                       (3分)

∴．                 (4分)

∴PC⊥．   （5分）

（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则

EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．               （7分）

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．                        （9分）

∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．      （10分）

证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．          （7分）

∵E为PD中点，∴EC∥PN．                                （9分）

∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．              （10分）

(3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得EF＝．  （12分）

则V＝．                         (14分)