Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．

（1）证明：BD⊥AA₁；

（2）证明：平面AB₁C//平面DA₁C₁

（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

（3）存在

【解析】证明：（1）连BD，∵ 面ABCD为菱形，∴BD⊥AC

       由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

       则BD⊥平面AA1C1C  故： BD⊥AA1

       （2）连AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知

       AB1//DC1，AD//B1C，AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D

       由面面平行的判定定理知：平面AB1C//平面DA1C1

       （3）存在这样的点P

       因为A1B1∥AB∥DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形．

       ∴A1D//B1C

       在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，

       因B1B∥CC1，∴BB1∥CP，∴四边形BB1CP为平行四边形

       则BP//B1C，∴BP//A1D∴BP//平面DA1C1