Question

（本小题16分）

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点在直线上，直线与抛物线相交于两点，为抛物线上一动点（不同于），直线分别交该抛物线的准线于点。

（1）求抛物线方程；

（2）求证：以为直径的圆经过焦点，且当为抛物线的顶点时，圆与直线相切。

Answer

（1）

（2）证明见解析

【解析】（1）依题意，焦点，抛物线方程为。……………4分

（2）由得，，，

 ∴。            ……………………6分

设，则，

直线：，令，

得，即， ……………………8分

同理，直线：，令，得，

即，……………………10分

∴，∴，

∴以为直径的圆经过焦点。  ……………………13分

当为抛物线的顶点时，，可得中点，即圆心，

，，∴，即，

∴圆与直线相切。