Question

（本小题满分16分）

已知函数

（1）若函数在处的切线方程为，求的值；

（2）任取，且，恒有，求的取值范围；

（3）讨论方程的解的个数，并说明理由。

Answer

（1）

，解得，切点为代入直线方程解得…………………………4分

（2）不妨假设，则，所以    （*）

令

则（*）等价于函数在区间上为单调减函数

即等价于，不等式恒成立

解得：…………………………………………………………………………………………………9分

（3）令（

①当时，在上，，函数在上为增函数且当时，，当时，

由此的图象与轴有且仅有一个公共点，即方程有且仅有一个实根。

②当时，方程有两个不相等的实数根，并且一个正根一个负根，不妨设正根为

则当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数，故函数有最小值

（ⅰ）当时，有且只有一个实数根，即方程有且仅有一个实根。

此时有，变形得（**）

构造函数在上为单调增函数，方程（**）等价于

解得，代入原方程组，解得

（ⅱ）当时，，

所以方程无实数根，即方程没有实数根

（ⅰⅱ）当时，类似可以求得

所以方程有两个实数根，即方程有两个实数根

综上，当或时，方程有且仅有一个实根

      当时，方程没有实数根

      当时，方程有两个实数根………………………………………………16分

【解析】略