Question

（本小题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。

（I）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围；

（II）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。

Answer

（I）AN长的取值范围是

（II）AN＝3米，AM=9米    花坛AMPN的面积最大27平方米

【解析】由于则AM＝          

故SAMPN＝AN•AM＝ …………4分

（I）由SAMPN > 32 得  > 32 ，

因为x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0

从而                 

即AN长的取值范围是…………8分

（II）令y＝，则y′＝ ………… 10分

因为当时，y′< 0，所以函数y＝在上为单调递减函数，

从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，

此时AN＝3米，AM=9米   …………15