Question

（本题满分16分）已知函数，．

（1）当时，若上单调递减，求a的取值范围；

（2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；

（3）对满足（2）中的条件的整数对，试构造一个定义在且 上的函数：使，且当时，．

Answer

（1）a的取值范围是

（2）满足条件的整数对是

（3）

【解析】（1）当时，，………………………………………………1分

若，，则在上单调递减，符合题意；………3分

若，要使在上单调递减，

必须满足 ……………………………………………………………………5分

∴．综上所述，a的取值范围是 …………………………………6分

（2）若，，则无最大值，………………………7分

故，∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足即且，…8分

此时，时，有最大值．………………………………………分

又取最小值时，，………………………………………………………分

依题意，有，则，…………分

∵且，∴，得，………………分

此时或．

∴满足条件的整数对是．……………………………12分

（3）当整数对是时，

，是以2为周期的周期函数，………………………分

又当时，,构造如下：当，则，

，

故…