Question

(本小题满分16分）

已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】【解析】
（Ⅰ）f(x)＝

＝

＝2sin(-)

因为 f(x)为偶函数，

所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

因此 sin（--）＝sin(-).

即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),

整理得 sincos(-)=0.因为 ＞0，且x∈R,所以 cos（-）＝0.

又因为 0＜＜π，故 -＝.所以 f(x)＝2sin(+)=2cos.

由题意得

故 f(x)=2cos2x.

因为 (注:本题有更简洁解法)

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，

再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.

  当 2kπ≤≤2 kπ+ π  (k∈Z),

  即 4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.

  因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)