Question

如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,，已知AE与平面ABC所成的角为,且．

   （1）证明：平面ACD平面；

   （2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的表达式；

   （3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小．

Answer

（1）证明见解析。

（2）

（3）60°

【解析】（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形  ∴，---------1分

∵ DC平面ABC ,平面ABC   ∴． ----------2分

∵AB是圆O的直径  ∴且     

∴平面ADC．  ∵DE//BC   ∴平面ADC -------------3分

又∵平面ADE   ∴平面ACD平面----------------4分

   （2）∵ DC平面ABC    ∴平面ABC

∴为AE与平面ABC所成的角，即＝-------------------5分

在Rｔ△ABE中，由,得------------6分

在Rｔ△ABC中 ∵（）

∴-----------------7分

∴（）----8分

   （3）由（2）知

要取得最大值，当且仅当取得最大值，

∵---------------------------------------9分

当且仅当，即时，“＝”成立，

∴当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形----------10分

解法1：连结CO，DO

∵AC=BC,DC=DC

∴≌   ∴AD=DB  

又∵O为AB的中点  ∴

∴为二面角D－AB－C的平面角------------11分

在中    ∵,

∴,  ∴=

即当取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．---------12分

解法2：以点O为坐标原定，OB为x轴建立空间直角坐标系如图示：

则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1,)，        ∴,

平面ABC的法向量，-------11分

设平面ABD的法向量为

由得

令，则 ∴----12分

设二面角D－AB－C的大小为，则

∴,即二面角D－AB－C的大小为60°．---------12分