Question

设函数.

   （Ⅰ）若x＝时，取得极值，求的值；

   （Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；

   （Ⅲ）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）证明见解析。

【解析】，

   （Ⅰ）因为时，取得极值，所以，

即故．…3分

   （Ⅱ）的定义域为.方程的判别式,

(1) 当, 即时，,

在内恒成立, 此时为增函数.

(2) 当, 即或时，要使在定义域内为增函数,

只需在内有即可,设，

由   得 ,    所以.

由(1) (2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.…8分

   （Ⅲ）证明：，当=－1时，，其定义域是，

令，得.则在处取得极大值，也是最大值.

而.所以在上恒成立.因此.   ……10分

因为，所以.则.

所以

=<

==.   所以结论成立. ……12分