Question

（本题14分）

已知函数，实数a，b为常数），

（1）若a＝1，在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；

（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的个数。

Answer

（1）b≥2

（2）解的个数为0个

【解析】（1）

①当

由条件，得≥0恒成立，即b≥x恒成立。

∴b≥2

②当

由条件，得≥0恒成立，即b≥－x恒成立

∴b≥－2

∵f (x)的图象在（0，＋∞）不间断，

综合①，②得b的取值范围是b≥2。

（2）令

    当，

∵

即上是单调增函数。

当时，，

∴上是单调增函数。

∵的图象在上不间断，∴在上是单调增函数。

∵

①当a≥3时，∵g (1) ≥0，∴＝0在（0，1]上有惟一解。

即方程解的个数为1个。

②当2≤a＜3时，∵g (1) ＜0，∴＝0在（0，1]上无解。

即方程解的个数为0个。