Question

给出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得幂函数为奇函数，指数函数在区间(0，+∞)上为增函数。

（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；

（2）判断f(x)在(0，+∞)的单调性，并证明；

（3）解方程：f[g(x)]=g[f (x)]。

Answer

（1）a=3

（2）f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数

（3）x1=0，x2=，x3=

【解析】【解析】
（1）指数函数在区间(0，+∞)上为增函数，∴a>1，∴a只可能为2或3。而当a=2时，幂函数f(x)=x2为偶函数，只有当a=3时，幂函数f(x)=x3为奇函数故a=3…３分

（2）f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数。                             

证明：在(0，+∞)上任取x1，x2，x10，∴f(x1)-f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)。

∴f(x)=x3在(0，+∞)上为增函数。                                     …８分

（3） ．．．．１０分

根据指数函数的性质，得3x=x3，∴x1=0，x2=，x3=。           …1２分