Question

（本题满分12分）已知函数f(x)＝x²＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer

(1) f(1)＝.

(2) a＞－3.

【解析】【解析】
(1)a＝时，f(x)＝x2＋2x＋，

其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，

又∵x∈[1，＋∞)，

∴f(x)的最小值是f(1)＝.……………………………5分

(2)由(1)知f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝a＋3. …………………7分

∵f(x)＞0在[1，＋∞)上恒成立，

故只需a＋3＞0即可，解得a＞－3.

∴实数a的取值范围是a＞－3. ……………………………12分