Question

（本小题满分12分）

设a为实数,函数

（Ⅰ）求f（x）的极值；

（Ⅱ）当在什么范围内取值时,曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点。

Answer

（Ⅰ） f(x)的极大值是，极小值是

（Ⅱ）∪(1，+∞)

【解析】（Ⅰ）=3－2－1         ------------------2分

若=0，则==－，=1

当变化时，，变化情况如下表：

(－∞，－)

－

(－，1)

1

(1，+∞)

+

0

－

0

+

极大值

极小值

∴f(x)的极大值是，极小值是  ---------------6分

（Ⅱ）函数

由此可知，取足够大的正数时，有f(x)>0，取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点

结合f(x)的单调性可知：

当f(x)的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线= f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。                ------------------8分

当f(x)的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。                ------------------10分

∴当∪(1，+∞)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点-----------12分