Question

(本小题满分12分)

已知三棱柱中，各棱长均为2，平面⊥平　　　　　　　　　　　面，．

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的大小；

Answer

（1）略（2）

【解析】(I)证明：取A1C1的中点M，连CM、B1M

∵三棱柱ABC－A1B1C1,∴各棱长均相等,∠A1AC＝60°

∴△A1CC1与△A1B1C1都是等边三角形

∴

∵平面ABC⊥平面AA1C1C，

∴平面A1B1C1⊥平面AA1C1C

∴B1M⊥平面AA1C1C，由三垂线定理得：B1C⊥A1C1

又∵四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1

而

∴B1C⊥平面A1BC1

（II）法一：连AB1与A1B交于G点，设B1C与BC1交于H点，连GH，则GH

取AC的中点N，连BN，A1N，可证AC⊥A1B ∴GH⊥A1B

又∵四边形AA1B1B是菱形 ∴AB1⊥A1B

∴∠B1GH就是所求二面角的平面角；

法二：由(I)知，平面，

又四边形是菱形，所以，由三垂线定理的逆定理得，，所以就是二面角B1－A1B－C1的平面角

由（1）知A1C1⊥B1C ∴GH⊥B1C

设A1C1＝a，则

∴即所求二面角的大小为