Question

（本小题满分12分）

       设函数f (x)＝ln(x＋a)+x².

（Ⅰ）若当x＝1时，f (x)取得极值，求a的值，并讨论f (x)的单调性；

（Ⅱ）若f (x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.

Answer

（Ⅰ）；分别在区间单调递增，在区间单调递减．

（Ⅱ），证明见解析

【解析】

（Ⅰ），依题意有，故．

从而．的定义域为，

当时，；当时，；

当时，．

分别在区间单调递增，在区间单调递减．

（Ⅱ）的定义域为，．

方程的判别式．

（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．

（ⅱ）若，则或．

若，，．

当时，，

当时，，所以无极值．

若，，，也无极值．

（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．

当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．

的极值之和为

.