Question

(本小题满分12分)

已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的内切圆的圆心M在直线上移动。

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）某同学经研究作出判断，曲线C在P点处的切线恒过点M，试问：其判断是否正确？若正确，请给出证明；否则说明理由。

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）此同学的判断是正确的，证明见解析

【解析】

（Ⅰ）设，三角形PAB的内切圆M与PA、PB、AB的切点分别为

       E、F、H，则

       P点的轨迹C为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去顶点）

       曲线C的方程为

（Ⅱ）此同学的判断是正确的

       设P点处曲线的切线交轴于点Q，下证：PQ平分

       不妨设

       当时，曲线C满足，

       则曲线C在点P处的切线的斜率

       直线PQ的方程为

       取，得                                     又

       ，即PQ平分PQ恒过点M，得证