Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2.

（I）证明：AB₁⊥BC₁；

（II）求点B到平面AB₁C₁的距离；

（III）求二面角C₁—AB₁—A₁的大小．

Answer

（I）证明见解析

（II）

（III）

【解析】（法一）

（1）证：连B1C       ∵平面ABC⊥平面BCC1B1

又AC⊥BC   ∴AC⊥面BCC1B1   ∴B1C为AB1在面BCC1B1 内的射影

又BC=BB1 =2   ∴四边形BCC1B1 为正方形

∴B1C ⊥ BC1    ∴AB1 ⊥ BC1   ……………………w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m……………………………4分

（2）∵BC∥B1C1 

  ∴C到面AB1C1 的距离即为B到面AB1C1 的距离

∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1

又B1C1 ⊥A1C1  ∴B1C1⊥平面ACC1A1 ∴平面AB1C1 ⊥平面ACC1A1

连A1C∩AC1 =O

∵四边形ACC1A1 为正方形   ∴CO⊥面AB1C1

∴CO即为所求  ∴CO=  ∴B到面AB1C1 的距离为 ………………………8分

（3）由（2）得 A1O⊥面AB1C1 

过O做OE⊥AB1 于E  连A1E    由三垂线定理有A1E⊥AB1

∴∠A1EO为二面角C1-AB1-A1 的平面角

又在Rt⊿A1OE中，A1O=   OE= 

∴tan∠A1EO=      ∴∠A1EO=

∴二面角C1-AB1-A1 的大小为       …………………………………………12分

（法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），

C1（0，0，2），因为，所以AB1⊥BC1. ……………4分 

（2）设是平面AB1C1的法向量，

由得

所以令，则，

  因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.…w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m…………8分

（3）设是平面A1AB1的法向量.由

         令=1，

则

    因为所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°…12分