Question

(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。

（I）求证：A₁B⊥B₁C；

（II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

Answer

（I）证明见解析

（II）

【解析】解法一：

（I）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，

所以AC⊥面ABB1A1。………………3分

由，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1，

所以A1B⊥AB1。

由三垂线定理得A1B⊥B1C。  ………………6分

（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连结A1D。

由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，

于是B1C⊥A1D，

则∠A1DB为二面角

A1—B1C—B的平面角。 ………………8分

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，

故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分

解法二：

由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

如图建立空间直角坐标系

  ……………………2分

   （I），

………………6分

   （II）作，垂足为D，连结A1D。

设

，

所以等于二面角A1—B1C—B的大小。  ………………10分

，

故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分