Question

(本小题满分12分)

设、分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围;

（2）设过定点Q(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

（3）设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形面积的最大值．

Answer

（1）

（2）或

（3）的最大值为．

【解析】解法一：易知

所以，设，则

故.………………………………………………………………2分

（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：………………………3分

∴

由得：………………………5分

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0  ∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或……………………………………………………7分

（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．……………………………………………9分

又，所以四边形的面积为=，

…………………………………………………11分

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．………12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，……………………9分

故四边形的面积为

，

…………………………………………………11分

当时，上式取等号．所以的最大值为．…………………………………12分