Question

（本小题满分12分）

已知定义在R上的函数的图像关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)当x∈[-1，1]时，图像上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论．

Answer

【解析】
(Ⅰ) 因为函数的图像关于原点对称，

所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以恒成立，故，…………………3分

故，

又时，取极小值，所以，且，

所以………………①

……………………②

解得：，；

所以，（）…………………………………………………6分

（Ⅱ）当时，图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.

证明如下：（方法1，用反证法）

① 假设在的图像上存在两点，，使得在此两点处的切线互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在两点处的切线斜率均存在.

由假设则有，…………………………8分

从而，

另一方面，，所以，所以，

与前式显然矛盾.所以，

当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分

（方法2）

设，为的图像上两点，由(Ⅰ) 可知，

且在点和点处的两条切线的斜率均存在.

不妨设在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，

则 ，；………………8分

所以  ，

由题意，，

所以，即

综上所述，当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直. ……12分

【解析】略