Question

已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足||||＋·＝0.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设过点N的直线l的斜率为k，且与曲线C相交于点S、T，若S、T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，求Q点横坐标的取值范围．

Answer

(1) y2＝－8x

(2) (－∞，－6)

【解析】(1)设点P(x，y)，根据题意则有：

＝(4,0)，||＝4，||＝，＝(x－2，y)，

代入||||＋·＝0，得：4＋4(x－2)＝0.

整理得点P的轨迹C的方程：y2＝－8x.

 (2)设S(x1，y1)，T(x2，y2)，

由题意得：ST的方程为y＝k(x－2)(显然k≠0)

与y2＝－8x联立消元得：ky2＋8y＋16k＝0，

则有：y1＋y2＝－，y1y2＝16.

因为直线交轨迹C于两点，

则Δ＝b2－4ac＝64－64k2＞0，

再由y1＞0，y2＞0，则－＞0，故－1＜k＜0.

可求得线段ST中点B的坐标为(－＋2，－)，

所以线段ST的垂直平分线方程为

y＋＝－(x＋－2)．令y＝0得点Q横坐标为xQ＝－2－，

xQ＝－2－＜－6.，所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．