Question

（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16

若数列{an}和{bn}满足等式：an=+++…+（n为正整数）

(1)求数列{an}的通项公式

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

Answer

(1) an=2n－1

(2) Sn=2n+2－6

【解析】【解析】
①由等差数列的性质得

a2+a7=a3+a6

∴

由韦达定理知a3,a6是方程x2－16x+55=0的根, 解方程得x=5或x=11

由d＞0，∴a3=5，a6=11，∴d=2

a1+a3－2d=5－4=1

故an=2n－1

②令an=，则有an=c1+c2+…+cn

an+1=c1+c2+…+cn+1

两式相减得

an+1－an=cn+1由①得

a1=1, an+1－an=2

∴cn+1=2, cn=2 (n≥2)

bn=

当n=1时，S1=b1=2

当n≥2时，Sn=b1+b2+…+bn=2+=2n+2－6

∵当n=1时，上式也成立

∴Sn=2n+2－6