Question

（12分）过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.

（1）求证：FM1⊥FN1；

（2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为、、，试判断S=4是否成立，并证明你的结论.

Answer

（1）略

（2）略

【解析】（1）证法一：由抛物线的定义得|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|.

∴∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F.

如图，设准线l与x轴的交点为F1.

∵MM1∥NN1∥FF1，

∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F.

而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠NFN1=180o，

即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180o，

∴∠F1FM1+∠F1FN1=90o，

即∠M1FN1=90o，故FM1⊥FN1.

证法二：依题意，焦点为F(,0)，准线l的方程为x=－.

设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为x=my+,则有M1(－,y1)，N1(－,y2)，=(－p,y1), =(－p,y2).

由

于是，y1+y2=2mp，y1y2=－p2.

∴·=p2+y1y2=p2－p2=0，故FM1⊥FN1.

（2）S=4S1S3成立，证明如下：

证法一：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

直线l与x轴的交点为F1，则由抛物线的定义得

|MM1|=|MF|=x1+, |NN1|=|NF|=x2+. 于是

S1=·|MM1|·|F1M1|=(x1+)|y1|，

S2=·|M1N1|·|FF1|=p|y1－y2|，

S3=·|NN1|·|F1N1|=(x2+)|y2|，

∵S=4S1S3(p|y1－y2|)2

=4×(x1+)|y1|·(x2+)·|y2|p2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+(x1+x2)+]·|y1y2|.

将与代入上式化简可得

p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立. 故S=4S1S3成立.