Question

（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P－ABC中，，，点 分别是AC、PC的中点，底面AB

（1）求证：平面；

（2）当时，求直线与平面所成的角的大小；

（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

Answer

（1）证明见解析。

（2）

（3）

【解析】19．【解析】
方法一：

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，

， ………………………………（2分）

（Ⅱ）

，

………．．（5分）

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即…………………．．（10分）

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心…………………………．．（12分）

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

（Ⅰ）D为PC的中点，

，

又  ，

（Ⅱ），即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

（Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心