Question

（本题满分8分）

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求二面角A₁－BP－E的大小。

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）A1GE=，即所求为。 

【解析】【解析】
不妨设正三角形的边长为3，则

（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。

又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。

（II）在图2中,过E点作BP的垂线，并交BP于G点，连接A1G，由（I）知A1E⊥平面BEP，∴ A1GE即为二面角A1－BP－E的平面角，又A1E=1，GE=，∴A1GE=，∴A1GE=，即所求为。