Question

（本小题满分12分）

已知点列、、…、（n∈N）顺次为一次函数图像上的点，点列、、…、（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中（0＜a＜1），对于任意n∈N，点、、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形。

（1）数列的通项公式，并证明是等差数列；

（2）证明为常数，并求出数列的通项公式；

（3）上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）(nÎN)，证明见解析

（2）证明见解析，

（3）存在直角三形，此时a的值为、、.

【解析】（1）(nÎN),∵yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 ………………4分

（2）因为与为等腰三角形.

所以，两式相减得 。………………7分

注：判断得2分，证明得1分

∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差为2的等差数列，………………6分

        ∴ ………………10分

   （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()

        当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).

        Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1)  (*)

        取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； ………………14分

        当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.

        ∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)  (*¢)，

取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解.

        综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. ………………18分