Question

(本小题9分)

   如图所示，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，现将沿折线CD折成60°的二面角P—CD—A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点。

（I）求证：PA//平面EFG；

（II）若M为线段CD上的一个动点，问当M在什么位置时，MF与平面EFG所成角最大。

Answer

（I）证明见解析。

（II）M为线段CD中点时 ，最大。

【解析】方法一：

（I）证明：平面PAD，

                                     2分

过P作AD的垂线，垂足为O，则PO平面ABCD。

过O作BC的垂线，交BC于H，以OH，OD，OP为x

轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

是二面角P—PC—A的平面角，，

又

得

故                                                                     4分

设平面EFG的一个法向量为则

                       6分

而

故PA//平面EFG。                         7分

（II）【解析】
设M（x，2，0），则，                                        9分

设MF与平面EFG所成角为，

则                                  12分

故当取到最大值，则取到最大值，此时点M为线段CD的中点。14分

方法二：

（I）证明：取AD的中点H，连结EH，HG。                                                        2分

H，G为AD，BC的中点，∴HG//CD，又EF//CD。

∴EF//HG，

∴E，F，G，H四点共面

又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，

∴PA//平面EFG。                            7分

（II）【解析】
过M作MO⊥平面EFG，垂足O，连结OF，

则即为MF与平面EFG所成角，因为CD//EF，

故CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离

MO为定长，故要使最大，只要MF最短，故当

时，即M为线段CD中点时 ，最大。