Question

（本小题满分12分）

        如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

   （I）求出该几何体的体积；

   （II）求证：EM∥平面ABC；

   （III）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面？ 若存在，确定点N的位置；     若不存在，请说明理由.

Answer

略

【解析】解法一：由题意，Ea⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE//DC，AE=2，

DC=4，AB⊥AC，且AE=AC=2，

   （I）∵EA⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,

    ∴ab⊥平面acde ,                 …………2分

∴四棱锥b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面积S= 6

∴，

即所求几何体的体积为4    ………………４分

   （II）证明：∵m为db的中点，取bc中点G，连接em,mG,aG，

∴ mG∥DC，且

∴ mG   ae，∴四边形aGme为平行四边形， ……6分

∴em∥aG, 又AG平面ABC  

AG平面ABC，

∴EM∥平面ABC.……8分

   （III）由（II）知，em∥aG，

又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD

∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD                10分

在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N,

∴MN⊥平面BDE  点n即为所求的点  ………………10分

∵∽

∴ 边DC上存在点N，满足DN=DC时，

有MN⊥平面BDE.         …………12分

解法二：（I）（同解法一）  …………4分

   （II）由（I）知EA⊥AB，EA⊥AC，AB⊥AC。

∴以A为原点如图建立空间直角坐标系A—xyz  ………5分

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

D（0，2，4），M（1，1，2），

  …………6分

显然，为平面ABC的法向量，

且=0  …………7分

∴EM∥平面ABC.          ……8分

   （III）由（II）得，

设在棱DC上存在点，使MN⊥平面BDE，

则  …………9分

由  …………11分

∴在棱DC上存在点N（0，2，1），使MN⊥平面BDE.         …………12分