Question

（本小题满分13分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k₁、k₂满足，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论。

Answer

（1）动点的轨迹的方程 （2）直线DE过定点(-1,-2)

【解析】（1）设，则，∵，

∴． ，

所以动点的轨迹的方程．                         ………５分

（2）将A(m,2)代入得m=1, ∴A(1,2)      …………………………６分

 法一: ∵两点不可能关于x轴对称，∴DE不斜率必存在

设直线DE的方程为

由得

∴………………………８分

∵且

∴  …………………９分

将代入化简得

…………………………………10分

将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,过定点(-1,- 2)…………11分

将b=2-k代入y=kx+b

得y=kx+2-k=k(x-1)+2,过定点(1,2)即为A点，舍去

∴直线DE过定点（-1，-2）  …………………………………………13分

 法二：设，(5分)则      ……７分

同理,由已知得

   …………9分

设直线DE的方程为x=ty+n代入

得      …………10分

∴,直线DE的方程为   …12分

即直线DE过定点(-1,-2)        ………13分