Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，当E、F分别在线段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。

 1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；

2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。

Answer

【解析】

1. 、是异面直线，                               （1分）

                  法一（反证法）假设、共面为．

                  ,,

                  ,,．

                  ,又

                  ．

                  这与为梯形矛盾．故假设不成立．

                  即、是异面直线．                          （5分）

                  法二：在取一点M，使,又,

                  是平行四边形．

                  ，

                  则确定平面,

                  与是异面直线．

 2.法一:延长，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，

                  设

                  则△NDE中，，

                  ，平面平面,

                  平面．

                  过E作于H，连结AH，

                  则．

                  是二面角的平面角，

                  则．                                  （8分）

                  ,,

                  ,

                  此时在△EFC中，

                  ．    （10分）

                  又平面,

                  是直线与平面所成的角,

                  ．    （12分）

                  即当直线与平面所成角为时，

                  二面角的大小为。

                  法二：，面面

                  平面．

                  又．

                  故可以以E为原点，为x轴，为轴，

                  为Z轴建立空间直角坐标系，

                  可求设．

                  则，，

                  得平面的法向量,

                  则有，

                  可取．

                  平面的法向量

                  ．

                  ．（8分）

                  此时，．

                  设与平面所成角为，

                  则．

即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，

二面角的大小为．（12分）

【解析】略