Question

（13分）（理科）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

（1）若点的坐标分别是，求的最大值；

（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点是点在轴上的射影，点满足条件：，求线段的中点的轨迹方程.

Answer

（1）4

（2）

【解析】(理科) 【解析】
（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，

故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.

设，由准线方程得.由

得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，

椭圆方程为 .又易知C，D两

点是椭圆的焦点，所以,

 从而，当且仅当，即点M的坐标为 时上式取等号，的最大值为4。…………………………………………6分

（II）如图（20）图，设

.因为，故      ①      因为

所以   .     ②

记P点的坐标为，因为P是BQ的中点，所以

又因为  ，结合①，②得

故动点P的轨迹方程为……………………………………….13分