Question

已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.

   (1)当n∈N^*时，求f(n)的表达式；

  （2）当a_n=n·f(n), n∈N^*,求证a₁+a₂+…+a_n＜2；

  （3）设bn=.

Answer

（1）f(n)｝为首页f(n)=

（2）略

（3）=

【解析】(1)【解析】
令x=n,y=1得，f(n+1)=f(n)·f(1),

   ∴｛f(n)｝为首页f(n)=.

(2)证明an=n·f(n),= n·()n,由错位相减法证得a1+a2+a3+…+an=2-；

(3)【解析】
∵,

∴.

故.

∴

=

=