Question

（本小题满分10分）定义在R上的函数R) 是奇函数,

（1）求的值;

（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）

（2）

【解析】（1） 函数是奇函数,  .

      , 得.                             ……………4分

（2）由（1）得，令，即.  化简得.   或 .  若是方程的根, 则, 此时方程的另一根为1, 不符合题意.

函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于

方程  (※)在区间上有且仅有一个非零的实根.

（1）当时, 得方程(※)的根为, 不符合题意.

（2）当时, 则  

①当时, 得.  若, 则方程(※)根为,符合题意;若, 则方程(※)的根为,不合题意.  .

②    当时,  令,由 得.. 若, 得,此时方程的根是, , 不符合题意.  综上所求实数的取值范围是      .