Question

（本小题满分12分）已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.

（1）求矩阵

（2）求矩阵的另一个特征值及对应的一个特征向量的坐标之间关系

（3）求直线：在矩阵的作用下的直线的方程

Answer

（1） 

（2），

（3）

【解析】（1）设 ， =8=，故，

 =故，                     ……………… 2分

联立以上两方程组解得 故   ……………… 4分

（2）由（1）知矩阵的特征多项式为，

令 解得 

故其另一个特征值为                                                                                                  

设矩阵的另一个特征向量为=，则==2，

解得                                              ……………8分

（3）设点（）是直线上的任意一点，其在矩阵的变换下对应的点的坐标为（），则

 =，即-，，                    

代入直线的方程后并化简得

 即                                       ……………………12分