Question

（本小题满10分）注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做。对于函数，若存在x₀∈R，使成立，则称x₀为的不动点。已知函数（a≠0）。

（1）当时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）（特保班做）　在（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且A、B两点关于点对称，求的的最小值。

Answer

（1）3和－1；

（2）

（3）b的最小值为－。

【解析】（1）由题得：，因为为不动点，

因此有，即

所以或，即3和－1为的不动点。

（2）因为恒有两个不动点，

∴ ，

即 （※）恒有两个不等实数根，

由题设恒成立，

即对于任意b∈R，有恒成立，

所以有 ，

∴ 。

（3）由（※）式得，由题得E是A、B的中点，且

∴ ，则E（），

∴ －， ∴ b=－，

又由（2）知 0＜a＜1， 令

∴ 在上是单调递减，在上是单调递增

∴ 当时，

即 当时， b取得最小值，其最小值为－。