Question

（本题满分14分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，且在处取得极小值。

（1）求的解析式；

（2）已知函数定义域为实数集，若存在区间，使得在的值域也是，称区间为函数的“保值区间”．

①当时，请写出函数的一个“保值区间”（不必证明）；

②当时，问是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”并给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）∵，                        

∴                              ……  1 分

由                       …… 4  分

∴，       令，解得，

当变化时，,的变化情况如下表：

1

0

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴当时，取得极小值。                                  

所以，。                                     ……  5 分

（２） ①                                       ……  7 分

②由（１）得，

假设当x>1时，存在“保值区间”:［m,n］(n>m>1)。

因为当x>1时，所以在区间是增函数，

依题意,

于是问题转化为有两个大于1的根。             …… 9  分

现在考察函数

则令

又∵

∴１<                                               

当变化时，,的变化情况如下表：

(1,)

－

0

＋

单调递减

极小值

单调递增

 所以，在在(1,) 上单调递减, 在上单调递增。          …… 12  分

于是，,

又因为

所以，当时，的图象与轴只有一个交点，                ……  13 分

即方程有且只有一个大于1的根，与假设矛盾。

故当x>1时，不存在“保值区间”。                          ……  14 分

（２）解法2：由（１）得，

② 假设当x>1时，存在“保值区间”:［m,n］(n>m>1)。

因为当x>1时，所以在区间是增函数，

依题意,

于是问题转化为方程，即有两个大于1的根。…… 9  分

考察函数=(),与函数().

当x>1时，，

所以

而函数在区间                …… 12  分

又因为   所以，

因此函数=()的图象与函数()的图象只有一个交点。

……  13分

即方程有且只有一大于1的根，与假设矛盾。

故当时，不存在“保值区间”         

【解析】略