Question

（本小题满分14分）

已知函数，，它们的定义域都是，其中，

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，对任意，求证：

（Ⅲ）令，问是否存在实数使得的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

Answer

（Ⅰ）的单调增区间为，减区间为

（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅲ）

【解析】21 （本小题满分14分）

（Ⅰ）当时，，  

 ∴                      -----------2分

令  ∴    令  ∴

∴的单调增区间为，减区间为            -----------4分

（Ⅱ）由（I）知在的最小值为        -----------5分

又

在区间上成立

∴在单调递增，故在区间上有最大值 -----------7分

要证对任意，

即证

即证，即证

故命题成立                                     -----------9分

（Ⅲ），

∴

（1）当时，，∴在单调递减，

故的最小值为，舍去                -----------11分

（2）当时，由，得

① 当时，，

∴在单调递减，故的最小值为，

∴，舍去

②当时，，

∴在单调递减，在单调递增，

故的最小值为，，满足要求  -----------12分

（3）当时，在上成立，

 ∴在单调递减，故的最小值为∴，舍去

综合上述，满足要求的实数                  -----------14分