Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；

（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若时，方程有实根，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）

∵为的极值点，∴

∴且

∴.

又当时，，从而为的极值点成立。

                                                  --------4分

（Ⅱ）因为在上为增函数，

所以在上恒成立.    --------6分

若，则，

∴在上为增函数不成立；

若，由对恒成立知。

所以对上恒成立。

令，其对称轴为，

因为，所以，从而在上为增函数。

所以只要即可，即

所以

又因为，所以．                    --------9分

（Ⅲ）若时，方程 

可得

即在上有解

即求函数的值域．

        令

由         ∵

∴当时，，从而在(0,1)上为增函数；

当时，，从而在(1，+∞)上为减函数。

∴，而可以无穷小。    ∴的取值范围为. ------14分