（（14分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(...

（（14分）已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为且过点(4，-)

（Ⅰ）求双曲线方程；

（Ⅱ）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；

（Ⅲ）求△F₁MF₂的面积.

(1) x2-y2=6 (2) 略 (3) 6 【解析】【解析】（Ⅰ） ∵离心率e= ∴设所求双曲线方程为x2-y2=(≠0) 则由点(4，-)在双曲线上知=42-(-)2=6 ∴双曲线方程为x2-y2=6 （Ⅱ）若点M(3,m)在双曲线上则32-m2=6 ∴m2=3 由双曲线x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0) ∴ ∴,故点M在以F1F2为直径的双曲线上. （Ⅲ）=×2C×|M|=C|M|=2×=6

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考点分析：

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（13分）已知点B(5,0)和点C(-5,0)，过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k_2:

(Ⅰ)如果k₁·k₂=,求点A的轨迹方程;

(Ⅱ)如果k₁·k₂=a,其中a≠0,求点A的轨迹方程,并根据a的取值讨论此轨迹是何种曲线.

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（13分）中心在原点，一焦点为F₁（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。