Question

（本小题满分14分）

已知函数

   （I）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

   （II）设函数，当h（x）存在最小值时，求其最小值的解析式；

   （III）对（II）中的，证明：当时，

Answer

（I），

由已知得解得，

∴两条曲线交点的坐标为，切线的斜率为

∴切线的方程为 

   （II）由条件知

（i）当

当上递减；

当上递增。

是上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点。

∴最小值

（ii）当上递增，无最小值。

故h（x）的最小值的解析式为

   （III）由（II）知

则

当上递增，

当上递减。

处取得最大值

上有且只有一个极值点，所以也是的最大值。、

时，总有

【解析】略