Question

（本小题满分12分）

已知函数其中a为常数，且．

（Ⅰ）当时，求在（e=2．718 28…）上的值域；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）当时，

    得                                                           ………………………1分

    令，即，解得，所以函数在上为增函数，

    据此，函数在上为增函数，                         ………………………3分

    而，，所以函数在上的值域为

                                                                                          ………………………4分

（Ⅱ）由令，得即

      当时，，函数在上单调递减；

      当时，，函数在上单调递增；…………………5分

      若，即，易得函数在上为增函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此时无解.

………………………7分

若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，

要使对恒成立，只需，即，

由和

得.                                                  ………………………9分

      若，即，易得函数在上为减函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即，又因为，所以.     …………………11分

      综合上述，实数a的取值范围是.                ……………………12分