Question

（本题12分）已知数列满足.是否存在等差数列,使得数列与满足对一切正整数成立? 证明你的结论.

Answer

A

【解析】令,有,即,

解得  .    由此猜想:.    ----------------4分

下面证明:.

解法一:设

有 

又     ------------8分

两式相加            ------------10分

故,即.           ------------12分

解法二:构造函数,,由二项式定理,知

,     -------------------8分

对求导,得      ---10分

令,即得  .      -------------------12分

解法三:⑴时,成立.                 --------------------------5分

⑵假设当时等式成立,即.

当时,

                                         --------------------------------8分

                                                    --------------------10分

也就是说,当时,等式也成立.

由⑴⑵可知,存在,使得对一切成立.                          ---------------------12分