Question

(本题12分)

如图1所示，在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。（1）求证：顶点A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

图1                                     

Answer

（1）略

（2）平行六面体的体积为。

【解析】解（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，

从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。

（2）∵AM=AA1cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=，

∴A1O=，平行六面体的体积为。