Question

已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t (t≠0且t≠－1).

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120^O，

求t的取值范围.

Answer

（1）+=1（x≠2）

（2）

【解析】(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1

轨迹C的方程为+=1（x≠2）.

(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.

在△F1PF2中，=2c=4,

∵∠F1PF2=120°，由余弦定理，

得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2

= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.

所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120°

当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，

设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,

在△F1PF2中， =2c=4.

∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2

= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.

所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是

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